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Logaritmos

Os ossos de Napier
Fonte: Wikimedia Commons

Uma experiência comum entre professores de matemática é ouvir de alunos a provocativa pergunta “para que serve?”. E uma experiência ainda mais comum entre os alunos que não fazem tais perguntas é suspeitar que quase toda a matemática que aprenderam não serve para absolutamente nada. Ambas as experiências são falsamente reforçadas quando o tema em questão são os logaritmos.

Foi o matemático escocês John Napier (1550 – 1617) que introduziu os logaritmos como expediente de cálculo para simplificar as tediosas operações com números de muitos dígitos, necessárias aos astrônomos e navegadores da época. Com os logaritmos, operações de multiplicação, divisão e exponenciação se transformam em simples adições, subtrações e multiplicações. Mas como?

Suponha que você necessite realizar a multiplicação 32 x 128 e tem ao seu lado uma tabela de potências de 2. Olhando a tabela, você percebe que 32 = 25 e 128 = 27. Daí percebe que para multiplicar esses números basta somar os expoentes 5 e 7 e achar 12. Com esse valor, você olha de novo na tabela e vê que 212 = 4096, encontrando a resposta da multiplicação. Você evitou uma multiplicação com uma adição e três olhadelas em uma tabela.

Pareceu mais complicado do que realizar a multiplicação? Mas não é. Imagine multiplicar números como 3,476098 e 1,775369 dezenas de vezes durante o dia. Mais fácil seria transformar essas multiplicações todas em adições, olhando em uma tabela os expoentes de 3,476098 e 1,775369, somar esses expoentes e novamente olhar na tabela o número que corresponde ao expoente encontrado. Quando usados dessa forma, esses expoentes são chamados de logaritmos.

Napier viria a aperfeiçoar sua invenção juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630) e, a partir de então, os logaritmos se tornariam o mais importante avanço nas técnicas de cálculo até a invenção do computador digital, cerca de 400 anos depois.

Napier dedicou muito do seu tempo para desenvolver instrumentos de cálculo. Além dos logaritmos, desenvolveu uma espécie de ábaco chamado carinhosamente de ossos de Napier. A figura no início deste post mostra como era um instrumento desse: tabelas de multiplicação eram incorporadas em hastes que, quando giradas, transformavam multiplicações em adições e divisões em subtrações, seguindo a mesma lógica dos logaritmos. Em versões mais avançadas, extraíam até raízes quadradas. Os ossos de Napier foram inspirados em ideias de matemáticos árabes e também nas de Fibonacci, mostrando mais uma vez a influência de ambos na cultura europeia.

Pouco antes das calculadoras eletrônicas, era comum encontrar engenheiros utilizando réguas de cálculo em seus projetos. Esses instrumentos fascinantes incorporavam os logaritmos em sua construção e possibilitavam rapidez e precisão de resultados, dispensando tabelas e cálculos manuais. Ainda hoje são interessantes como instrumentos didáticos, e é comum encontrá-las em laboratórios de matemática nas universidades.

Alguns professores se desviam da pergunta impertinente “para que serve” dizendo coisas como “no futuro você verá” ou “para desenvolver o raciocínio”. Além de frustrarem as ambições científicas dos alunos, respostas como essas concorrem para demonstrar a ignorância do professor e as deficiências de sua formação. Melhor seria dizerem — e procurarem mostrar — como os logaritmos são usados na escala Richter, que mede a intensidade dos terremotos; no cálculo do potencial hidrogeniônico, o famoso pH, que calcula acidez ou a basicidade das substâncias; no cálculo da complexidade computacional, que classifica algoritmos segundo sua dificuldade inerente; na música, com o cálculo dos intervalos musicais; no cálculo da entropia de um sistema, medindo seu nível de desordem; e no cálculo da dimensão dos fractais. Mas será que os professores não acharão que isso “complica demais as coisas”?

Discussão

  1. Os logaritmos surgiram devido a necessidades práticas dos cientistas. Você acha que toda matemática é criada a partir de alguma urgência pragmática?
  2. Se os esforços dos matemáticos se concentraram, durante muito tempo, em construir máquinas que fizessem as contas mais tediosas para eles, por que você deveria aprender a realizá-las com lápis e papel?
  3. Você consegue dizer alguma outra aplicação dos logaritmos além daquelas discutidas no texto?

Para saber mais

Primeiro, você precisa revisar:

Agora, veja algumas aplicações dos logaritmos:

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História da matemática Matemática

Zero

O número 605 com caracteres Khmer (Camboja, c. 683)
Fonte: Wikimedia Commons

Disputas históricas raramente são definitivas. Até que novos documentos ou vestígios sejam descobertos e novas interpretações sejam propostas, a história oficial se mantém em uma espécie de limbo narrativo, aguardando ser reescrita por jovens historiadores em busca de um lugar ao sol. Com a história do zero não é diferente.

É discutível se os matemáticos do Egito e da Mesopotâmia conheciam o conceito de zero, mas certamente não possuíam um símbolo para representá-lo. No Egito, construtores marcavam o nível do solo, o nível zero, com um símbolo, mas esse símbolo não era usado em seu sistema de numeração. Os astrônomos da Mesopotâmia deixavam espaços no meio dos números para indicar o zero, o que, obviamente, gerava um enorme problema de leitura. Como saber, por exemplo, se o número 2 1 era 21, 201 ou 2001? Além disso, um simples número como 3 poderia indica 3, 30, 300 ou mais, pois nunca sabemos quantos espaços à direita o escriba teve a intenção de deixar.

Todo esse problema aparece quando usamos a notação posicional para registrar números, ou seja, quando um mesmo algarismo tem valor diferente dependendo da posição que ocupa. O número 55 é feito por dois algarismos iguais, mas o da esquerda vale dez vezes mais do que o da direita. A numeração romana que usamos ainda hoje não é estritamente posicional, e este é apenas um dos sistemas criados na história em que a posição não desempenha papel fundamental.

Apenas no século passado, historiadores europeus voltaram seus olhos para as contribuições científicas de povos distantes da bacia mediterrânea, como indianos, chineses e maias. E o interessante é que foram exatamente esses os primeiros a reconhecer a utilidade de um símbolo para o zero em suas notações.

Por volta de 665, os maias já tinham um símbolo para o zero. Mas, por razões óbvias, isso não influenciou em nada ciência do Velho Mundo. Coube aos indianos realizar o feito de reinventar e difundir um símbolo para o zero.

O zero já era comum na matemática indiana por volta do ano 650, uma época de ouro para as ciências naquela região. Três matemáticos se destacavam: Brahmagupta (c. 598 – c. 668), Bhaskara (c. 600 – c. 680), conhecido por sua célebre forma, e Mahavira (c. 800 – c. 870), já de uma geração posterior. Todos os três usavam o zero em operações matemáticas. Brahmagupta afirmava, por exemplo, que um número subtraído dele mesmo resultava em zero, e que qualquer número multiplicado por zero é zero. Isso nos parece demasiadamente óbvio hoje, mas foi um grande feito para a época.

Levado ao Ocidente pelos árabes, o símbolo para o zero dos matemáticos indianos era como o nosso, apenas menor e elevado na linha de escrita. Foi apenas em 1202, com o Liber Abaci (O livro do ábaco) de Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250), que os algarismos indo-arábicos fizeram sua entrada definitiva na ciência ocidental, desbancando as terríveis dificuldades das operações com os números romanos ou com as pedrinhas usadas nos ábacos medievais da época.

Discussão

  1. O zero é importante não só na aritmética, mas também na álgebra. Você consegue imaginar outras utilidades para ele além daquelas descritas aqui?
  2. Existem diversos sistemas de numeração no mundo, tanto históricos quanto modernos, com diversas bases. O nosso, de base 10, possui 10 símbolos distintos. Outro, muito usado na moderna computação, usa a base hexadecimal, com todos os conhecidos 10 algarismos indo-arábicos mais as letras A, B, C, D, E e F. Pesquise por que foram criados e responda: seria conveniente introduzir esse sistema nas escolas básicas para melhor adaptar os alunos ao universo da moderna computação?
  3. Tente somar os números romanos CCXXIX com DXLVIII, sem convertê-los para decimais, e diga se isso tornou seu dia mais feliz.

Para saber

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Descartes Geometria Geometria analítica História da matemática Matemática

Descartes e a geometria analítica

O sistema do GPS e a técnica de triangulação
Fonte: Oficina da Net

O GPS (Global Position System – Sistema de Posicionamento Global), massivamente utilizado em aplicativos de transporte, foi uma invenção que teve início em 1957, quando a antiga União Soviética lançou o primeiro satélite da história — o Sputnik. A ideia de localizar objetos em terra a partir do espaço foi uma das motivações do projeto, mas foram os Estados Unidos que primeiro desenvolveram o sistema de localização, disponível a partir de 2000 para toda a população. O GPS faz uso, e de maneira até bem simples, de um sistema de coordenadas espaciais, provido pelo que hoje chamamos de geometria analítica.

A geometria analítica tem uma história antiga e, como todas as criações matemáticas, ela não surge completa e definitiva. Seu longo amadurecimento ocorreu nas mãos de matemáticos que precisavam localizar pontos e curvas no plano e no espaço a partir de uma referência. Esse referenciamento pode ser feito de várias maneiras, cada uma dando origem a um sistema de coordenadas. Os sistemas mais empregados hoje são o de coordenadas polares, largamente utilizado por Isaac Newton (1643 – 1727), e o de coordenadas cartesianas, assim nomeado em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596 – 1650).

Talvez a mente mais lúcida de seu tempo, Descartes exerceu uma incomum influência na história das ideias. Principalmente preocupado em encontrar um fundamento sólido para todo o conhecimento, Descartes fazia parte da longa tradição de filósofos que buscavam as ideias mais básicas, certas e universais das quais tudo o mais se derivaria. Se você entendeu o que Euclides fez com sua estruturação lógico-dedutiva do conhecimento matemático, vai compreender o que Descartes procurou fazer, não só com a matemática, mas com todo o conhecimento humano.

Filósofo de coração, Descartes foi um matemático de grande talento. Ao editar La Géométrie (A Geometria) como um apêndice do seu mais importante livro, o Discurso do Método (1637), Descartes almejou libertar a geometria do uso de diagramas através de procedimentos algébricos e prover sentido geométrico às operações algébricas, fundindo ambas em um único corpo de conhecimentos.

Curiosamente, Descartes não usou o sistema de coordenadas cartesianas (!) ou nenhum outro sistema em sua Géométrie. No entanto, fixou o uso das letras x, y e z para variáveis e a, b e c para constantes; introduziu a moderna notação exponencial, como x3, x4, etc. (mas ainda escrevia xx para o que hoje escrevemos x2); descreveu curvas em termos de suas equações e interpretou equações em termos de curvas, além de ter quebrado com o antigo princípio da homogeneidade, que escravizou a imaginação matemática a considerar x como um segmento e xx como uma área.

A “tradução” bidirecional entre geometria e álgebra operada por Descartes inspirou os matemáticos posteriores a procurar traduções entre outros campos e a criar métodos e soluções seguras para problemas que seguiam intratáveis até então. A álgebra, que opera de maneira mecânica com um conjunto pequeno e sólido de princípios e regras, garante a toda a matemática que nela se fundamenta segurança e solidez. E assim teve início, com a obra de Descartes, a mecanização moderna da matemática — em nosso benefício?

Discussão

  1. Você acredita que é possível encontrar os princípios primeiros do conhecimento humano, como Descartes pretendia? Quais princípios seriam esses?
  2. O que você pensa do uso da álgebra em problemas de geometria? Acredita que seja uma coisa natural ou é algo que nos é imposto em função de alguma necessidade?
  3. Será que toda a matemática pode ser mecanizável de maneira a ser melhor operada por computadores? É bom que assim o seja?

Para saber mais

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Fibonacci História da matemática Matemática

Fibonacci e seu Liber Abaci

Acima, a página do Liber Abaci mostrando o famoso problema dos coelhos.

Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250) é o mais interessante matemático do século XIII. Nascido em Pisa, na Itália, mudou-se ainda jovem com o pai, Guglielmo dei Bonacci, para a cidade de Bugia, na Argélia, onde passou parte de sua vida. Matemático e escritor, é autor do influente Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra que termos a oportunidade de conhecer a seguir.

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História da matemática Matemática

Omar Khayyam, a poesia e a matemática

Acima, uma página de um tratado sobre equações cúbicas e interseção de cônicas, de Omar Khayyam.

Aos céus enviei minha alma
Em busca do segredo eterno…
Na volta, me diz, já bem calma:
‘Eu mesma sou Céu e Inferno’

Do Rubaiyat

Omar Khayyam nasceu em maio de 1048 na rica e próspera Nixapur, no nordeste do Irã, tendo ali vivido e morrido, em dezembro de 1131, após uma vida de grandes realizações.

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História da matemática Matemática Papiro de Rhind

O papiro de Rhind

Por volta de 1.650 a.C., um certo escriba egípcio chamado Ahmes (ou Amósis) finalizou aquela que seria não a mais antiga, mas a mais notável obra de matemática egípcia de que temos conhecimento: um livro escrito sobre uma imensa folha de 5,5 metros por 30 cm de altura, feita com tiras prensadas do caule de uma planta chamada papiro. Finalizada a escrita, essa longa folha era então enrolada e transportada como se fosse um bastão, e passava assim a ser catalogado em grandes bibliotecas de papiros. Mas o que dizia esse livro em particular que tanto interessa a matemáticos e historiadores da ciência?

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Álgebra História da matemática Matemática

Al-Khwarizmi e a álgebra

Apenas um matemático em toda a história foi capaz de emprestar seu nome a dois importantes conceitos e ter o título de seu principal livro como o nome de toda uma ciência: Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c. 780 – c. 850). De seu nome, também escrito em português como Alcuarismi, temos as palavras algarismo e algoritmo, e de seu mais importante tratado matemático, o Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (c. 823), temos o nome álgebra. Mas quem foi esse matemático e do que tratava seu livro?

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Alcuíno História da matemática Matemática Resolução de problemas

Alcuíno e suas Propositiones

Não é a primeira vez que escrevo sobre uma personalidade que ainda me enche de admiração e respeito. Alcuíno de York (735 – 804), o “Ministro da Educação e da Cultura”, por assim dizer, do imperador Carlos Magno (742 – 814), foi uma figura central na reorganização dos conhecimentos medievais, uma mescla de conhecimentos da Antiguidade com as contribuições cristãs, preparando terreno para as futuras universidades europeias, em uma época quando já existiam universidades muçulmanas no norte da África.

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História da matemática Matemática

Plimpton 322

Em 1922, um editor de Nova York de nome George Plimpton comprou de um comerciante displicente, por apenas 10 dólares, uma pequena tabuinha de argila com marcas feitas com algum tipo de estilete. Plimpton viu algum valor histórico na peça mas não soube precisar do que se tratava, e acabou doando a tabuinha à Universidade de Columbia. Foi então que os pesquisadores descobriram um dos mais fascinantes documentos da história da matemática na antiguidade.

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Conlínguas Esperanto Interlinguística Linguagem

Por que aprender esperanto?

Já fazem 35 anos desde que, pela primeira vez, terminei um curso completo de esperanto – a leitura do Esperanto sem Mestre – e tive minha primeira conversação. A partir de então, depois de centenas de livros, depois de centenas de contatos com pessoas de todo o mundo, depois de intensa atuação no movimento esperantista, um amigo me fez uma pergunta: valeu a pena investir tanto tempo e dinheiro nisso? Vou dar minha resposta no restante deste post.

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